A New Methodology for Domain Extension of the Mathematical Successive Operations
As operações matemáticas sucessivas são aplicáveis a sequências inteiras de qualquer elemento, usando a visão dualista da expressão recursiva, que também é admitida como uma equação. A solução desta equação permite obter não apenas os valores após um valor predeterminado (por exemplo, o valor inicial conhecido da recursão clássica), mas também os valores anteriores a ele.
CONSISTÊNCIA DESTA METODOLOGIA COM FUNÇÕES RECURSIVAS CONHECIDAS:
Uma vez que não se introduzem mudanças na recursão convencional e sim uma ampliação de interpretação em sua expressão, as funções recursivas primitivas não sofrem alterações nos seus resultados conhecidos. O que ocorre é a extensão do domínio de natural para o domínio inteiro, em todas as situações onde isto é possível.
CONSISTÊNCIA DESTA METODOLOGIA CONSIDERANDO FUNÇÕES COM DEFINIÇÃO RECURSIVA E NÃO RECURSIVA:
Em geral as funções podem ser expressas através de definições recursivas e não recursivas, sendo que em muitos casos as definições não recursivas admitem domínios inteiros. Nestes casos, ao fazer uma extensão das recursões é esperado que, por uma questão de consistência, a recursão apresente os mesmos resultados já conhecidos da função não recursiva. Um bom exemplo de função que pode ser definida de forma recursiva e não recursiva é a função polinomial p(x) = x (x+1)/2, cujo domínio pode ser restrito aos números naturais. De fato, em N ela é facilmente definida pela recursão p(n+1) = p(n) + (n+1).
Neste caso, ao fazer uma extensão da soma sucessiva dos números naturais é esperado que, por uma questão de consistência, a função apresente os mesmos resultados já conhecidos de p(x) = x (x+1)/2, se x for um número inteiro. Isto é exatamente o que ocorre, como pode ser apreciado através dos resultados apresentados nas figuras 01 e 02 a seguir. Resultados equivalentes a este foram observados em todos os casos verificados.
Síntese da Metodologia de Extensão:
A implementação básica da metodologia é proposta através de "funções-equações indutivas", aplicável em sequências inteiras. Para obter este mesmo resultado com funções indutivas tradicionais, seria necessário particionar o domínio e usar duas expressões, como por exemplo dois produtórios ou dois somatórios.
Além das novas possibilidades, diversas funções bem conhecidas passam a dispor de uma representação alternativa em termos desta forma generalizada de indução, que é simultaneamente compacta e intuitiva.
O processo tradicional de indução finita pode ser caracterizado a partir de um resultado inicial e uma regra de indução, que permite obter todas as saídas ou resultados subsequentes a partir deste primeiro.
Contrariando o comportamento sequencial clássico da indução finita, Moesia (M.Sc.-LNCC-2017) amplia as possibilidades, ao introduzir uma nova metodologia que permite obter os resultados usuais, seguintes ao inicial, e também todos os resultados anteriores a ele, que passa a ser tratado apenas como uma referência.
Introdução:
A adição dos números naturais é frequentemente o exemplo mais utilizado para introduzir o processo de recursão como forma de expressar certas funções. Na figura 1 é possível observar as duas representações mais utilizadas para a soma
p(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n,
que são um somatório e um polinômio de segundo grau. Com a introdução da nova metodologia também é proposta uma representação alternativa, no canto inferior direito da Figura 1. Considerando que a nova simbologia é aplicável para quaisquer sequências inteiras, não havendo restrição no sentido de sua utilização também no caso da sequência dos naturais.
A Recursão Convencional
É um contra-senso pensar numa "recursão dos inteiros", já que não existe um primeiro número inteiro. Por outro lado, a adição dos números naturais contém uma definição recursiva:
p(n+1) = p(n) + (n+1) .
Não há restrições no sentido de utilizar esta recursão como uma equação, de modo a obter os valores de y(0), y(-1), y(-2), etc. Isto foi feito na figura 2, sendo a função obtida representada por dois somatórios, por um polinômio de segundo grau e utilizando a nova metodologia. É notável o fato de que uma soma sucessiva consegue estender o polinômio n(n+1)/2 de N para Z, ao passo que existem dificuldades para fazer o mesmo com um somatório.
A Extensão Inteira da Recursão Convencional
Perguntas Frequentes:
01 - Quais as aplicações mais imediatas dos produtos sucessivos ?
a) Funções bem conhecidas como o fatorial e a potenciação apresentam alguns resultados difíceis de ser demonstrados. Por exemplo, em geral 0! = 1 e 0 0 = 1 são valores axiomatizados. Nestes casos o produto sucessivo oferece uma solução imediata e que não precisa ser imposta através da definição ou da introdução de argumentação mais elaborada.
b) Devido a aplicação sobre quaisquer sequências inteiras, muitas operações matemáticas podem ser expressas utilizando produtos sucessivos. Frequentemente essa representação consegue ser compacta, sem omitir as operações originais.
c) Existem dificuldades para fazer extensões para argumentos negativos para fatoriais e outros valores que dependem deles, como os números binomiais. Os produtos sucessivos suportam estas extensões, permitem representá-las e ainda obter novas relações úteis, devido à aplicação indiscriminada com argumentos positivos e negativos.
02 - Os produtos sucessivos são aplicáveis apenas à números inteiros ?
Apesar da simbologia adotada aqui que remete fortemente ao conceito de multiplicação ou adição usual, trata-se de uma função genérica. Sequências de funções com uma ou mais variáveis, matrizes e, em geral, quaisquer elementos organizados em sequências indexadas por números inteiros podem ser consideradas como argumento. As exigências são que o operador "." seja binário, associativo e que ele e os elementos sobre os quais será aplicado formem um grupo.
03 - Os produtos sucessivos são produtórios generalizados ?
Como um abuso do conceito de generalização ou uma forma simplificada de pensar num primeiro contato com o assunto, pode-se aceitar esta afirmação, porém rigorosamente não, porque não é possível fazer um produtório, por exemplo , com índice variando de 0 a -5 e, para atingir o valor final -5, ir somando +1 ao valor inicial. Nenhuma extensão que viole as operações que pretende estender pode ser considerada consistente. De fato, um único produtório, tal qual é definido, pode varrer um subconjunto finito ou infinito de índices inteiros, desde que exista um valor inicial. Isto significa que antes ou depois deste índice existirão outros inatingíveis. Para considerar todos os índices que existem em Z são necessários no mínimo dois produtórios.
04 - Os somatórios e produtórios são casos particulares dos produtos sucessivos ?
Sim, porque demonstra-se sem maiores dificuldades que qualquer somatório ou produtório cujos termos são indexados por inteiros pode ser expresso através de um produto sucessivo adequado.